Dick begon reeds op jeugdige leeftijd met pianospelen. Na een aantal jaren stapte hij over op een ander instrument, het clavecimbel. Een belangrijke reden hiervoor is geweest dat zijn vader Willem Meijer indertijd zelf clavecimbels bouwde. Het clavecimbel werd een van de instrumenten waarvoor Dick Meijer een opleiding aan het Arnhems Conservatorium ging volgen.
In 1983 studeerde hij voor het hoofdvak clavecimbel bij Christopher Farr af en in 1984 sloot hij het hoofdvak Protestantse Kerkmuziek/Kerkelijk orgelspel af bij respectievelijk Wim Kloppenburg en Bert Matter.
Het dirigeren en begeleiden van concerten, oratoria en passies is een groot deel van zijn werk geworden.
Naast de COV Bennekom is hij ook dirigent van COV Valerius te Barneveld en heeft hij in 2008 samen met zijn vrouw Elly Meijer-Klein het Alexanderconsort opgericht.
